Grenzwerte von Folgen – Übungen mit Lösungen

Q: Wann konvergiert eine Folge?

Eine Folge (aₙ) konvergiert gegen a, wenn es zu jedem ε > 0 eine Stelle N gibt, ab der alle Glieder weniger als ε von a entfernt sind. Kurz: Ab irgendeinem Index bleibt die Folge in jedem noch so schmalen Streifen um a.

Konvergenz, Rechenregeln, typische Klausurfallen: Hier rechnest du selbst, bekommst sofort Rückmeldung und siehst zu jeder Aufgabe den Lösungsweg. Für Analysis 1 in Mathe, Physik, Informatik und Ingenieurstudiengängen.

Studium (Analysis 1) · 14 Aufgaben · etwa 35 min · Stand 24.10.2026

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Einstieg

Fast alles in der Analysis – Stetigkeit, Ableitung, Integral, Reihen – ist am Ende ein Grenzwert. Wer Folgen sicher beherrscht, hat den Rest des Semesters leichter. Hier übst du die Definition, die Rechenregeln und die typischen Klausurfallen.

Vorab-Frage· einfach raten – Vorab-Fragen machen den Stoff merkfähiger, auch wenn du falsch liegst

Rate zuerst: Welchen Grenzwert hat die Folge $a_{n} = \frac{3 n ^{2} + 2 n}{n ^{2} - 5}$ für $n \to \infty$ ?

1Was heißt „die Folge konvergiert“?

Eine Folge $(a_{n})$ konvergiert gegen $a$ , wenn ihre Glieder dem Wert $a$ beliebig nahe kommen und dort bleiben. „Beliebig nahe“ macht man mit einer Toleranz $ε$ präzise: Egal wie klein du sie wählst, ab einer Stelle $N$ liegen alle weiteren Glieder im Streifen von $a - ε$ bis $a + ε$ .

Intuition· Der ε-Schlauch

Lege um den Grenzwert einen Schlauch der Breite $2 ε$ . Konvergenz heißt: Ab irgendeinem Index verlässt die Folge diesen Schlauch nie wieder – und das für jeden noch so dünnen Schlauch. Je dünner der Schlauch, desto später darf $N$ liegen.

Der ε-Schlauch um den Grenzwert 0 für a(n) = (-1)^n / n

a(n) = (-1)^n / n

ε 0.25

Definition· Konvergenz einer Folge

Eine Folge $(a_{n})_{n \in N}$ reeller Zahlen konvergiert gegen $a \in R$ , wenn gilt: $\forall ε > 0 \exists N \in N \forall n \geq N : ∣ a_{n} - a ∣ < ε .$ Man schreibt $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ . Eine Folge, die gegen keine Zahl konvergiert, heißt divergent.

Die Definition Stück für Stück

Für jede noch so kleine Toleranz $ε$ …
… gibt es eine Stelle $N$ (sie darf von $ε$ abhängen) …
… sodass für alle Folgenglieder ab dieser Stelle …
… der Abstand zum Grenzwert kleiner als $ε$ ist.

Quiz

In der Analysis 1: Welche Aussage beschreibt korrekt, dass die Folge $(a_{n})$ gegen $a$ konvergiert?

Kurzantwort

Für die Folge $a_{n} = \frac{1}{n}$ mit Grenzwert $0$ und die Toleranz $ε = 0, 01$ : Was ist das kleinste $N \in N$ , sodass $∣ a_{n} - 0 ∣ < ε$ für alle $n \geq N$ gilt?

1 Karten · erst überlegen, dann umdrehen

2Rechenregeln: Grenzwerte zerlegen

Kaum jemand prüft Konvergenz in der Praxis mit $ε$ und $N$ . Stattdessen zerlegst du die Folge in Bausteine mit bekanntem Grenzwert und setzt sie mit den Grenzwertsätzen wieder zusammen.

Satz· Grenzwertsätze

Gilt $lim a_{n} = a$ und $lim b_{n} = b$ , dann gilt $lim (a_{n} \pm b_{n}) = a \pm b$ , $lim (a_{n} \cdot b_{n}) = a \cdot b$ , $lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{a}{b}$ (falls $b \neq = 0$ und $b_{n} \neq = 0$ ).

Achtung· Nur bei endlichen Grenzwerten

Die Sätze gelten nur, wenn beide Teilfolgen konvergieren. Ausdrücke wie $\frac{\infty}{\infty}$ oder $\infty - \infty$ sind keine Rechnungen, sondern ein Zeichen, dass du erst umformen musst.

Schritt für Schritt

Berechne $lim_{n \to \infty} \frac{3 n ^{2} + 2 n}{n ^{2} - 5}$ .

Schritt 1: Zähler und Nenner wachsen beide über alle Grenzen. Was tust du zuerst?

Kurz selbst überlegen – dann vergleichen.

Kurzantwort

Berechne den Grenzwert der Folge $a_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$ für $n \to \infty$ .

Fehler finden

Finde den Fehler in dieser Rechnung für den Grenzwert $lim_{n \to \infty} \frac{n ^{2} + 1}{2 n ^{2} - n}$ .

Eine Zeile ist falsch – tippe sie an.

1 Karten · erst überlegen, dann umdrehen

3Grenzwerte, die du kennen solltest

Ein paar Bausteine tauchen immer wieder auf. Mit ihnen und den Grenzwertsätzen lösen sich die meisten Klausuraufgaben.

Merke· Standardgrenzwerte

$lim \frac{1}{n ^{k}} = 0$ für $k > 0$
$lim q^{n} = 0$ für $∣ q ∣ < 1$ ; für $q = 1$ ist der Grenzwert $1$ , für $q > 1$ geht $q^{n} \to \infty$ , für $q \leq - 1$ divergiert die Folge
$lim n n = 1$ und $lim n c = 1$ für $c > 0$
$lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e \approx 2, 71828$ , allgemein $lim (1 + \frac{x}{n})^{n} = e^{x}$

(1 + 1/n)^n nähert sich e von unten

a(n) = (1 + 1/n)^n

Zuordnen

Ordne jeder Folge aus der Analysis 1 ihren Grenzwert für $n \to \infty$ zu.

Links antippen, dann rechts das Passende.

Kurzantwort

Berechne den Grenzwert der Folge $a_{n} = n + 1 - n$ für $n \to \infty$ .

1 Karten · erst überlegen, dann umdrehen

4Divergenz und Beschränktheit

Nicht jede Folge hat einen Grenzwert. Wichtig ist, wie sie keinen hat: Eine Folge, die über alle Grenzen wächst, heißt bestimmt divergent (man schreibt $lim a_{n} = \infty$ ). Springt sie dauerhaft hin und her, ohne gegen $\pm \infty$ zu gehen, heißt sie unbestimmt divergent.

Satz· Beschränktheit und Monotonie

Jede konvergente Folge ist beschränkt. Die Umkehrung gilt nicht: $(- 1)^{n}$ ist beschränkt, aber divergent.
Monotoniekriterium: Jede monotone und beschränkte Folge konvergiert.
Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig.

Sortieren

Ordne die Folgen aus der Analysis 1 nach ihrem Verhalten für $n \to \infty$ .

Eintrag antippen oder ziehen …

konvergent

bestimmt divergent

unbestimmt divergent

Wahr oder falsch?

Aussagen über reelle Folgen in der Analysis 1:

Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Jede beschränkte Folge konvergiert.

Eine Folge kann zwei verschiedene Grenzwerte haben.

Ändert man endlich viele Glieder einer konvergenten Folge, bleibt der Grenzwert gleich.

Kurzantwort

Die Folge ist rekursiv definiert durch $a_{1} = 1$ und $a_{n + 1} = 2 + a_{n}$ . Sie ist monoton wachsend und durch $2$ beschränkt, konvergiert also. Gegen welchen Wert?

1 Karten · erst überlegen, dann umdrehen

5Das Sandwich-Lemma

Manche Folgen lassen sich nicht direkt ausrechnen, aber gut einklemmen: Liegt eine Folge zwischen zwei Folgen mit demselben Grenzwert, hat sie keine Wahl.

Satz· Sandwich-Lemma (Einschließungskriterium)

Gilt $a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}$ für alle $n$ ab einer Stelle und $lim a_{n} = lim b_{n} = L$ , dann konvergiert auch $(c_{n})$ , und es gilt $lim c_{n} = L$ .

Begründen

Zeige, dass $lim_{n \to \infty} \frac{s i n ( n )}{n} = 0$ gilt. Wähle zu jedem Schritt die passende Begründung.

- 1 \leq sin (n) \leq 1

für alle

n

- \frac{1}{n} \leq \frac{s i n ( n )}{n} \leq \frac{1}{n}

lim (- \frac{1}{n}) = lim \frac{1}{n} = 0

lim \frac{s i n ( n )}{n} = 0

1 Karten · erst überlegen, dann umdrehen

6Auf einen Blick

Konvergenz: Zu jedem $ε > 0$ gibt es ein $N$ , ab dem alle Glieder im $ε$ -Schlauch um $a$ liegen. Reihenfolge der Quantoren: erst $ε$ , dann $N$ .
Rechnen: Bruch aus Polynomen durch die höchste Nennerpotenz kürzen, dann Grenzwertsätze – nie mit $\frac{\infty}{\infty}$ „rechnen“.
Standardgrenzwerte: $\frac{1}{n ^{k}} \to 0$ , $q^{n} \to 0$ für $∣ q ∣ < 1$ , $n n \to 1$ , $(1 + \frac{x}{n})^{n} \to e^{x}$ .
Wurzeldifferenzen wie $n + 1 - n$ mit der dritten binomischen Formel erweitern.
Konvergent ⇒ beschränkt, aber nicht umgekehrt; monoton und beschränkt ⇒ konvergent.
Sandwich-Lemma für Folgen mit schwankenden Teilen wie $sin (n)$ oder $(- 1)^{n}$ .

Erklären

Erkläre am Beispiel der Folge $a_{n} = (- 1)^{n}$ , warum sie nicht gegen $1$ konvergiert, und benutze dabei die $ε$ -Definition der Konvergenz.

Morgen noch wissen, was du heute geübt hast?

Füg die Einheit deinen Kursen hinzu: UniApp24 legt aus jeder Aufgabe eine Karte an und fragt sie genau dann wieder ab, wenn du sie gerade noch weißt – bis zur Prüfung. Oder mach dasselbe mit deinen eigenen Folien.

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Häufige Fragen

Wann konvergiert eine Folge?

Eine Folge (aₙ) konvergiert gegen a, wenn es zu jedem ε > 0 eine Stelle N gibt, ab der alle Glieder weniger als ε von a entfernt sind. Kurz: Ab irgendeinem Index bleibt die Folge in jedem noch so schmalen Streifen um a.

Wie berechnet man den Grenzwert eines Bruchs?

Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von n im Nenner teilen, dann die Grenzwertsätze anwenden. Bei gleichem Grad ist der Grenzwert der Quotient der führenden Koeffizienten, bei kleinerem Zählergrad 0.

Was ist der Unterschied zwischen bestimmter und unbestimmter Divergenz?

Bestimmt divergent heißt, die Folge wächst über alle Grenzen (Grenzwert ∞ oder −∞), etwa n². Unbestimmt divergent heißt, sie hat weder einen Grenzwert noch geht sie gegen ±∞, etwa (−1)ⁿ.

Ist jede beschränkte Folge konvergent?

Nein. (−1)ⁿ ist beschränkt, aber divergent. Umgekehrt gilt: Jede konvergente Folge ist beschränkt, und jede monotone und beschränkte Folge konvergiert.

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